同济大学数学科学学院 · School of Mathematical Sciences, Tongji University

Research on the Denominator-Weighted Shapiro Cyclic Sum and Efficient Solution Algorithms

Shapiro 循环不等式自 1954 年提出后历经三十余年，才由 Troesch 完全解决。本工作研究其分母加权推广

$$F(x,p)=\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{p,x_{i+1}+q,x_{i+2}},\qquad p+q=1,\qquad 0\le p\le 1$$

的极值性质与高效求解算法。

主要贡献

• 把 Bushell–Ando 关于极小点的结构定理推广到分母加权情形，刻画了极小点的分段结构、比例关系与零位模式
• 将最小值 $P(n,p)=\min_{x}F(x,p)$ 的计算归结为求解有限个二元多项式方程组，并给出可行域 $UV_p$ 的显式描述
• 提出单位球面 $\mathbb{S}^{n-1}$ 上的黎曼 BFGS 算法，带振荡解检测与扰动重启机制
• 证明：对一切 $n\ge 3$，当 $\dfrac{\sqrt5-1}{2}\le p\le 1$ 时 $P(n,p)=n$

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关键词：Shapiro inequality · Shapiro cyclic sum · Riemannian BFGS algorithm · minimizer analysis

_{本工作受同济大学大学生创新训练计划（SITP）资助，项目编号 X2025634。}

一个 Windows 悬浮小挂件：把 OpenAI Codex 和 DeepSeek Harness 两个 AI 编程工具 的用量、额度和花费并排放在桌面指定角落里，两行、可调的透明背景、几乎不占地方。

● Codex     gpt-5.6-sol   5h 100% · 7d 99%     0 tok · $0.00
● DeepSeek  v4-pro        余额 ¥6.90          62.3M tok · ¥23.35

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Research Agent for Quadratic Conserved Quantities of Geodesic Flows: Killing Tensor Search, Symbolic Verification, and Perturbation Analysis

开题阶段 · 《人工智能与数学》课程项目

核心问题：一个度量原本具有的守恒量，在度量受到扰动之后能否继续存在？如果不能，阻碍出现在哪里？

在黎曼或 Lorentz 流形 $(M,g)$ 上，测地流的二次守恒量 $Q=K^{ij}p_ip_j$ 与对称 Killing 张量 $K_{ij}$（满足 $\nabla_{(i}K_{jk)}=0$）一一对应；在余切丛 $T^*M$ 上取 $H=\tfrac12 g^{ij}p_ip_j$，该条件等价于泊松括号方程 ${Q,H}=0$。这一等价关系使问题可以被完整地算法化：找到一个守恒量，回代残差为零即可确证；断言不存在，则给出线性系统不相容的代数证据。同时它又天然需要决策——扩大多项式次数还是更换函数基底、先做一般参数还是特殊参数、求解「卡住」是数学现象还是求解器做了不合法的参数除法、计算是否已超出预算。

本项目不做「从零发现 Kerr 的 Carter 常数」这类超出范围的事，而是把搜索—验证—分类做成一条可核验、可复现、可扩展的流水线，并在一个有限但明确的扰动空间内给出分类或阻碍结论。

研究路径（三阶段）

1. 二维模型跑通全流程 —— 在共形平坦度量族 $g_\eps=\lambda_\eps(\mathrm dx^2+\mathrm dy^2)$（$\lambda_\eps=1+x^2+2y^2+\eps x^2y^2$）上，研究 $\eps=0$ 时可分离的 Liouville 型守恒量 $Q_0$ 能否延续。首批实验（精确有理数运算，$d=2$）已给出：$\eps=0$ 时解空间维数为 2，而 $\eps=1$ 与 $\eps=-\tfrac14$ 时降为 1 —— 即可分离性在该搜索空间内丧失。
2. 在广义相对论基准上验证工具 —— 依次通过平直空间、Schwarzschild 时空（$E,L_z,L^2,H$ 与可约性处理）、Kerr 时空（输入文献中的 Carter 常数并验证）三个基准，确认工具处理的是同一个几何问题、且适用于 Lorentz 度量，并显式面对四维的维数灾难。
3. 一阶扰动：能否把守恒量「修回来」 —— 令 $H_\eps=H_0+\eps H_1$、$Q_\eps=Q_0+\eps Q_1$，一阶守恒条件是对 $Q_1$ 线性的方程 ${Q_1,H_0}=-{Q_0,H_1}$。在 Schwarzschild 的九参数静态轴对称扰动族上，给出存在性（显式 $Q_1$ 并回代验证）、限定范围内的不存在性（不相容的精确证据）或参数分类（哪些扰动允许守恒量延续）。参数分类是主要数学目标。

方法与定位

• 双重验证闭环：Hamiltonian 表述 ${Q,H}=0$ 与几何表述 $\nabla_{(i}K_{jk)}=0$ 互相核对，自动暴露指标、符号与实现错误。
• 可约性完整化：区分由 $g$ 及 Killing 向量对称积生成的「可约」二次守恒量与真正的隐藏对称性，使「无额外解」具有确定含义。
• 验证器优先：基准集包含「应当找到的已知解」「重复解」「特意写错符号的候选量」「特殊参数下降秩的例子」四类样本，分别度量搜索器的漏解率与验证器的误收率。
• Agent 的价值在策略自适应，而非「自动写代码」：在扩次数／换基底、一般参数／特殊参数、数学现象／求解器产物、是否超预算这四类判断上做取舍，并把符号消元中的异常（例如除以 $\eps$ 而漏掉 $\eps=0$ 分支）作为一等公民管理。
• 证据包绑定结论：每个结果都携带原始度量、候选函数空间（基底＋截断阶＋对称性假设）、生成的方程、解与参数假设、验证残差、复现命令与资源消耗；报告中的状态词（已验证解 / 限定空间内无额外解 / 一阶近似解已验证 / 未解决）预先定义、不得混用。

技术栈：Python + SymPy（符号线性代数、Gröbner 基），可选 EinsteinPy 辅助导入标准度量；不训练模型，第一版不做多 Agent 架构。

关键词：Killing 张量 · 二次守恒量 · 隐藏对称性 · 测地流 · 符号计算 · Agent 策略自适应